动力气象 · 不稳定的分类、判据与动图

大气中的不稳定

判断一个基本态稳不稳定，只问一个问题：给它一个小扰动，扰动是被拉回来，还是越长越大。大气里的不稳定分两类。气块类看一个被推离原位的气块受到的回复力，推的方向不同（垂直、水平、倾斜），对应静力、惯性、对称不稳定。波动类看两列逆着各自局地气流传播的波能否锁住相位、互相放大，对应正压、斜压和 KH 不稳定。

气块类：气块守恒某个量，被推开后与环境不同 垂直位移 守恒 θ（饱和后 θe） 静力不稳定 条件不稳定 位势不稳定 倾斜位移 同时守恒 θ 和 M 对称不稳定 （湿：CSI） 水平位移 守恒绝对动量 M（涡旋里是角动量） 惯性不稳定 波动类：逆着各自局地气流传播的两列波相位锁定、互相放大 正压不稳定 能量：水平切变的动能 两条 PV 跃变边缘上的 涡旋罗斯贝波 斜压不稳定 能量：水平温度梯度的有效位能 地面与对流层顶的 温度边缘波 KH 切变不稳定 能量：垂直切变的动能 层结阻碍：Ri < 1/4 才可能 卷成波浪云
同一个思路，两种算法。气块类用“气块法”：气块守恒什么量，被推开后就和环境比较这个量。波动类要解扰动方程，判据是平均 PV 梯度（或边界温度梯度）在某处变号。末尾有一张总表。
气块类 · 垂直位移 · 干空气

1 · 静力不稳定

干绝热上升的气块守恒位温 θ。把它抬高 δz，它的 θ 还是原来的值；如果环境 θ 随高度增加，气块比环境冷，被拉回去，来回振荡；如果环境 θ 随高度减小，气块比环境暖，越升越快。

d²δz/dt² = −N² δz，　N² = (g/θ) ∂θ/∂zN 是浮力（Brunt–Väisälä）频率。N² > 0 稳定，振荡周期 2π/N；N² < 0 不稳定，扰动按 e^{|N|t} 增长。等价于环境递减率 Γ 与干绝热递减率 Γd ≈ 9.8 K/km 的比较：Γ > Γd 不稳定。
在台风里台风区的自由大气几乎总是干静力稳定的（∂θ/∂z > 0）。真正起作用的是饱和以后的稳定度，见下一节。浮力振荡 N 也出现在后面每一种不稳定的判据里。
气块类 · 垂直位移 · 有水汽

2 · 条件不稳定与位势不稳定

饱和气块上升时凝结放热，冷却得比干绝热慢，按湿绝热递减率 Γm（约 4–7 K/km）降温。当环境递减率在 Γm 和 Γd 之间时，干空气稳定、饱和空气不稳定，所以叫“条件”不稳定：条件是气块要先被抬到饱和、再抬过自由对流高度。

Γ < Γm：绝对稳定　Γm < Γ < Γd：条件不稳定　Γ > Γd：绝对不稳定气块法的积分形式：CAPE = ∫LFCEL g (Tp − Te)/Te dz，CIN 是 LFC 以下负浮力的积分。气块要有至少 √(2·CIN) 的初始上升速度才能穿过 CIN；理论上最大上升速度为 √(2·CAPE)。

理想化探空：环境温度从地面起按 Γ 线性递减到 12 km，以上等温；不计虚温和卷入。气块先沿干绝热线上升到抬升凝结高度（LCL），再沿假湿绝热线上升。红色面积为 CAPE，蓝色为 CIN。把初始速度调到 0，看气块怎样被 CIN 挡住。

位势（对流）不稳定

条件不稳定看的是单个气块。位势不稳定看的是整层空气被一起抬升：如果这一层下湿上干，相当位温 θe 随高度减小（∂θe/∂z < 0），抬升时下部先饱和、按湿绝热慢慢降温，上部还没饱和、按干绝热快速降温，整层的递减率越来越大，最后变成不稳定。原本稳定的层结，被锋面、地形或辐合抬升后可以突然释放对流。

抬升前：层结稳定，但 θe 随高度减小 上部：干，θe 低 下部：湿，θe 高 层内递减率小 整层抬升 抬升后：下部饱和，上部未饱和 按干绝热降温（快） 已饱和，按湿绝热降温（慢） 层顶冷得多、层底冷得少 → 层内递减率超过湿绝热 → 释放对流 判据：∂θe/∂z < 0 的层，抬升到饱和后不稳定
在台风里热带海洋上通常存在 CAPE，眼墙和雨带对流靠它和海面通量维持。Emanuel（1986）的看法是：台风的增强和维持只依赖自身诱发的海面热输送，应看作一种有限振幅的海气相互作用不稳定，而不是对环境中已有对流有效位能的线性释放（CISK 的说法）。Emanuel 1986，PDF 第 1 页干空气侵入使中层 θe 降低，加大位势不稳定，但也让下沉气流更冷更干，这是第 7 节“切变与干空气”里的另一面。
气块类 · 水平位移

3 · 惯性不稳定

这是静力不稳定在水平方向上的翻版。以东西向的地转风 u(y) 为例，气块南北移动时守恒绝对动量 M = u − f y。被推到新纬度后，它的 u 与当地地转风不一致，科氏力与气压梯度力不平衡。若绝对涡度与 f 同号，气块被拉回，做惯性振荡；若反号，它被越推越远。

d²δy/dt² = −f (f − ∂u/∂y) δy = −f ζa δy北半球（f > 0）：ζa < 0 时不稳定，也就是反气旋式切变超过 f。轴对称涡旋的版本是 I² = (f + 2v/r)(f + ζ) < 0（见“台风动力学图解”第 3 节）。

f 取 20°N 的值。时间按惯性周期缩放：稳定时气块来回振荡，周期 2π/√(fζa)，远长于浮力振荡。

在台风里高层出流是反气旋式的，惯性稳定度很小，甚至小于 f²（“台风动力学图解”第 3 节；教材 Ch.10 PDF 第 28 页）。Bryan & Rotunno（2009）的轴对称模拟中，出流区存在惯性不稳定的区域：同一高度上同一个 M 值出现在多个半径处。Bryan & Rotunno 2009，PDF 第 8 页
气块类 · 倾斜位移

4 · 对称不稳定（倾斜不稳定）

一个基本态可以同时满足静力稳定（N² > 0）和惯性稳定（fζa > 0），却对倾斜位移不稳定。气块同时守恒 θ 和 M。如果等 M 面比等 θ 面更平，沿两者之间的斜线移动的气块会同时“比环境暖、又比环境动量小”，浮力和惯性力合起来把它越推越远。

d²/dt² [δx, δz] = − [[F², S²], [S², N²]] · [δx, δz]F² = f(f + ∂v/∂x) 是惯性项，N² 是浮力项，S² = f ∂v/∂z = (g/θ) ∂θ/∂x 来自热成风。矩阵有负特征值即不稳定：在 F² > 0、N² > 0 时，判据是 F²N² − S⁴ < 0。这个量正比于 f 乘 Ertel 位涡 q，所以北半球的判据是 q < 0。无水平切变时等价于 Richardson 数 Ri = N²/(∂v/∂z)² < 1。饱和空气中用 θe* 代替 θ，称为条件对称不稳定（CSI）。

x–z 剖面（横向 ±150 km，纵向 0–10 km，纵向放大约 30 倍）。红线：等 θ 面；绿线：等 M 面（M = v + f x）。虚线是九个推开方向，每个方向在中心两侧各放一个气块（共 18 个），让它只能沿这条斜线运动；沿斜线的恢复加速度为 −ω²(s)·d，ω²(s) = (F² + 2S²s + N²s²)/(1 + s²)，s 为斜率。ω² < 0 的方向（红）指数增长，其余（蓝）在原地附近来回振荡。默认参数 Ri ≈ 0.56：水平和偏陡的方向都稳定，夹在等 θ 面和等 M 面之间的方向一定失稳（失稳范围还略宽一些）。ω²(s) 的最小值就是矩阵的负特征值，对应方向几乎贴着等 θ 面：气块沿等熵面滑动不需要克服浮力，却能释放惯性能量。f = 10⁻⁴ s⁻¹。

在台风里Emanuel（1986）的潜在强度理论假设眼墙对湿倾斜对流是中性的：每个等 M 面上 θe* 处处相同，所以眼墙气块沿 M 面上升（教材 Ch.10 PDF 第 84 页的同一假设）。Bryan & Rotunno（2009）在模拟中检验了这一点：眼墙里一个 M 值大约只对应一个熵值，近似满足“湿倾斜中性”。Bryan & Rotunno 2009，PDF 第 8 页换句话说，眼墙就是条件对称不稳定被释放后留下的中性状态。
波动类 · 水平切变

5 · 正压不稳定

水平切变气流里，涡度（PV）梯度起罗斯贝波回复力的作用。若某处 PV 梯度变号，两侧会各有一列沿 PV 跃变边缘传播的波，它们都逆着各自局地气流走，可能相对静止、锁住相位，互相诱生的流让对方增长。能量来自平均流水平切变的动能。

Rayleigh–Kuo 必要条件：β − ∂²u/∂y² 在流场内某处变号即绝对涡度（PV）的经向梯度变号。Fjørtoft 条件进一步要求 (u − us)(β − ∂²u/∂y²) < 0 在某处成立（us 为梯度变号处的风速）。对轴对称涡旋，判据换成径向 PV 梯度变号：单调递减的单极涡旋稳定，眼区涡度低于眼墙的“环状”涡旋可能不稳定。
初始涡度场
高涡度带 上缘气流向左 下缘气流向右 上缘波相对气流向右 下缘波向左 两列波都逆着局地气流 → 可相对静止、相位锁定、互相放大

二维无辐散正压涡度方程的伪谱数值解（128×128，双周期，本页实时计算），颜色为涡度。涡度带卷成一串涡旋（这也是非层结流体里 KH 不稳定的样子）；眼墙涡度环先变成多边形，再碎成几个中尺度涡并把高涡度混进眼区；单调递减的单极涡旋只是把扰动轴对称化，保持稳定。时间单位为涡度带（或涡度环）里一次旋转的特征时间。

在台风里Schubert 等（1999）用正压无辐散模式说明：多边形眼墙是 RMW 附近正压不稳定的结果；不稳定增长到有限振幅后，眼墙涡度聚成离散团块，与眼区中尺度涡相联系，最后重新排成近单极的圆形涡旋。Schubert et al. 1999，PDF 第 1 页大尺度上，ITCZ 里对流持续制造的 PV 带会在正压–斜压不稳定下周期性崩解，形成一串或一个大台风。教材 Ch.10，PDF 第 44 页
波动类 · 垂直切变 + 水平温度梯度

6 · 斜压不稳定

中纬度的等熵面向极地抬升，储存着有效位能。若暖空气沿比等熵面平缓的斜线向极、向上移动，冷空气向赤道、向下移动，重心降低，位能释放成动能。用波动的语言说：地面和对流层顶的温度梯度各自支持一列边缘波，两者相位锁定，槽线随高度向西倾斜，扰动增长。

冷（极地）←→ 暖（赤道） θ₁θ₀θ₂ 水平面 不稳定楔 暖空气向极、上升 冷空气向赤道、下沉 比等熵面陡：要克服静力稳定
交换路径的斜率落在水平面和等熵面之间时，暖空气上升、冷空气下沉，释放有效位能。斜率超过等熵面需要克服静力稳定；正好水平则不释放能量。经典示意图，按标准教材重绘。
σ = (f Λ / N) · √[(coth(μ/2) − μ/2)(μ/2 − tanh(μ/2))]，μ = N k H / fEady 模型的精确增长率（Λ 为垂直切变，H 为对流层厚度）。最大增长率 ≈ 0.31 fΛ/N，出现在 μ ≈ 1.61，即波长 ≈ 3.9 NH/f；μ > 2.4 的短波稳定。下图按这一公式实时计算。

左：增长率随波长变化（H = 10 km）。右：所选波长的 Eady 模态在 x–z 剖面上的扰动流函数（红：高压脊，蓝：低压槽），上下边界的色条为扰动温度（暖红冷蓝）。振幅已归一化；图样随基本流向东移动，槽线随高度向西倾斜。

在台风里教材用 Eady 最不稳定模态的增长率（> 0.25 /天）标出斜压发展区，与 SST > 28 °C 的热带发展区一起判断哪些月份、哪些海区容易发生温带变性。教材 Ch.10，PDF 第 158、161 页副热带气旋转为热带气旋的过程也从斜压不稳定开始：高空冷槽使极侧垂直 PV 梯度反号，高低层 PV 异常相位锁定后，地面出现反射。教材 Ch.10，PDF 第 55 页各种生成路径共同的动力特征是大尺度 PV 梯度反号，满足 Charney–Stern 条件。PDF 第 49 页
波动类 · 有层结的垂直切变

7 · Kelvin–Helmholtz 切变不稳定

两层空气相对滑动时，界面上的小起伏被切变放大，卷成一排波浪状的涡旋（波浪云）。层结会抑制它：气块被卷起要克服浮力。

Ri = N² / (∂u/∂z)² < 1/4　在某处成立，是不稳定的必要条件Miles–Howard 定理（无黏、层结平行切变流）。没有层结时（Ri = 0），它就是上一节动图里涡度带的卷起：正压切变不稳定与 KH 不稳定在二维无层结流体里是同一件事。
上层快 下层慢（相对） ① 小起伏 ② 切变把波峰卷起 ③ 一排涡旋，随后破碎成湍流
总表

一张表对比

不稳定扰动方式能量来源判据（北半球）典型尺度与台风的关系
静力（干）垂直气块层结位能N² < 0，即 ∂θ/∂z < 0边界层湍流自由大气几乎总稳定
条件垂直气块，需饱和潜热Γm < Γ < Γd；CAPE > 0，需穿过 CIN对流单体，km眼墙、雨带对流
位势（对流）整层抬升潜热∂θe/∂z < 0中尺度下湿上干的层被抬升
惯性水平气块旋转动能fζa < 0；涡旋 I² < 0几十–几百 km高层反气旋出流
对称（倾斜）倾斜气块浮力 + 惯性N² > 0、fζa > 0，但 fq < 0（Ri < 1）带状，几十 km眼墙接近湿倾斜中性
正压水平波动水平切变动能β − uyy 变号（PV 梯度变号）涡度带宽度的几倍多边形眼墙、中尺度涡、ITCZ 崩解
斜压倾斜波动有效位能Charney–Stern：内部 PV 梯度与边界温度梯度的效应反号≈ 3.9 NH/f，几千 km温带变性、热带转变
KH界面波动垂直切变动能Ri < 1/4（必要）百米–km切变层湍流

气块类判据都可以看成 Ertel 位涡 q 的不同侧面：静力不稳定是 q 的“垂直分量”N² 为负，惯性不稳定是绝对涡度为负，对称不稳定是两者都正但 q 本身为负。波动类判据都要求平均 PV 梯度在某处变号。

依据
  1. 浮力振荡、条件与位势不稳定、惯性与对称不稳定、Rayleigh–Kuo 与 Fjørtoft 判据、Eady 模型、Miles–Howard 定理：标准动力气象与中尺度气象教材内容（如 Holton & Hakim《An Introduction to Dynamic Meteorology》、Markowski & Richardson《Mesoscale Meteorology in Midlatitudes》），未逐页核对页码。
  2. COMET Ch.10 Tropical Cyclones（本地 PDF）：第 28、44、49、55、84、158、161 页。
  3. Emanuel 1986, JAS（本地库）：PDF 第 1 页。
  4. Bryan & Rotunno 2009, MWR（本地库）：PDF 第 8 页。
  5. Schubert et al. 1999, JAS（本地库）：PDF 第 1 页。